Đáp án bài toán hình tròn chứa bốn hình vuông

Đề bài:

Cho 4 hình vuông bằng nhau cùng có diện tích là 16. Các hình vuông này lần lượt có một cặp góc vuông đối đỉnh.

Một hình tròn đi qua 3 điểm A, M, N là 3 đỉnh của 2 hình vuông và chứa tất cả 4 hình vuông như hình vẽ. Tính diện tích phần tô màu xanh trong hình tròn.

Lời giải:

Diện tích của mỗi hình vuông là 16 nên cạnh của hình vuông là 4.

Gọi O là tâm hình tròn và H là trung điểm MN hay HM = HN = 2.

Dễ thấy O nằm trong hình vuông thứ hai tính từ trái sang phải và OH vuông góc MN.

Gọi a và 4 – a là khoảng cách từ O đến 2 cạnh thẳng đứng của hình vuông chứa O. Dựng tam giác vuông OKA với hai cạnh góc vuông OK, AK cùng phương với cạnh hình vuông.

Đặt OA = OM = r.

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác OHM và OKA ta có:

r² = OM² = HM² + OH² = 2² + (8 + a)²

r² = OA² = OK² + KA² = 6² + (8 – a)²

Từ đó suy ra (8 + a)² – (8 – a)² = 6² – 2² = 32 dẫn đến 32a = 32 hay a = 1 và
r² = 2² + 9² = 85.

Diện tích hình tròn bán kính r là S(O;r) = πr² = 85π.

Diện tích phần tô màu xanh là 85π – 64 = 203,035.

Đáp số: 203,035.

Trần Phương